Ciąg Fibonacciego

Jedyną rzeczą, która wyróżnia mój blog na tle innych jest różnorodność. Cóż, takie przynajmniej jest moje założenie. Ostatnio był post o muzyce, dzisiaj idziemy  wgłębić się w piękno, jakie kryje ze sobą matematyka. Nie zrażaj się, jeśli nienawidzisz matematyki. Nie bez powodu mówi się, że matematyka jest królową nauk, bo cały świat jest oparty na jej schematach. Jeśli nie interesuję Cię coś takiego, jak ciąg Fibonacciego (tzw. Boska proporcja bądź złota liczba) to czekaj cierpliwie na nowy post o zupełnie innej tematyce, który będzie już niebawem.

Leonardo Fibonacci.

Dzisiaj porozmawiam z Tobą o Leonardo Fibonaccim. Pewnie o nim nie słyszałeś/łaś, bo niestety
mało który nauczyciel wspomina o takich rzeczach, co swoją drogą bardzo mnie dziwi, dlatego że jest  to bardzo ciekawe i interesujące przynajmniej w moim odczuciu. Leonardo był włoskim matematykiem, żyjącym na przełomie XII i XIII wieku. Twórca wielu matematycznych problemów, jednak jego największym odkryciem jest złota proporcja o której to dzisiaj będziemy mówić.







Pewnie zastanawiasz się teraz: o co w tym wszystkim chodzi? Już tłumaczę.
Ciąg liczb wygląda w ten sposób:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,  233,377, 610, 987, 1597, 2584, 4181 itp.

Zależność wygląda w ten sposób:

1 + 1 (dwa wyrazy ciągu) = 2
2 + 1 = 3 (kolejna cyfra)
3 + 2 = 5 (kolejna cyfra)

I dzieje się tak w nieskończoność. Każdy wyraz tego ciągu, nazywany jest liczbą Fibonacciego. Pragnę zauważyć, że między tymi liczbami znajduje się kolejna zależność. Kiedy bowiem podzielimy przez siebie dwa koleje wyrazy ciągu Fibonacciego, to stosunek tych liczb zawsze będzie wynosił  Φ (phi, czyt. fi) która w przybliżeniu wynosi 1,618. Im większe wyrazy ciągu zostaną przez siebie podzielone, tym wyjdzie nam dokładniejsze przybliżenie liczby Φ . 

1:1 = 1
2:1 = 2
3:2 = 1,5
5:3 = 1,(6)
8:5 = 1,6
13:8 = 1,625
21:13 = 1,6153846

I tak dalej, również w nieskończoność. Ciąg ten najlepiej określa spirala, która nazywana też jest "złotą proporcją" 

Jak widzisz na powyższym rysunku, spirala złożona jest z kolejnych liczb Fibonacciego, co ciekawe: stosunek długości a do b wynosi właśnie Φ (w przybliżeniu 1,618). Właśnie dlatego nazywane jest to złotą proporcją. 

Tą zależność można znaleźć praktycznie wszędzie w naturze. W owocach (banan ma 3 sekcje, jabłko 5 a grejpfrut 13) czy roślinności. Warto wspomnieć, że każdy kwiat ma płatki, których liczba jest jedną z ciągu Fibonacciego. Koniczyna ma 3 liście a stokrotka ma 21 lub 34 płatki. Inna liczba może być wyłącznie wynikiem mutacji genetycznej. 
Architektura i sztuka również oparta jest na złotej proporcji. W starożytnej Grecji, partenon został zbudowany właśnie na podstawie spirali, podobnie jak piramidy w Egipcie, katedra Notre Dame, Mona Lisa, Ostatnia Wieczerza oraz Wenus z Milo.
A złotą spiralę znajdziemy w szyszkach, kalafiorach, słonecznikach, huraganach, galaktykach spiralnych, baranich rogach a nawet w ludzkiej twarzy i w ludzkim ciele. 

- Stosunek wzrostu człowieka do długości od pępka w dół  - Φ
- Od kolana do pępka i od kolana do stopy -  Φ
- Stosunek długości dwóch przednich (górnych) zębów do ich długości -  Φ
- Wysokość twarzy do jej szerokości -  Φ
- Wysokość od brwi do ust do wysokości nosa -  Φ

Ciąg Fibonacciego występuje nawet w muzyce. Wszyscy znamy Kanon D Pachelbel'a, a jeśli nie, zachęcam do zapoznania się z nim.Zapis nutowy skonstruowany jest według liczb Fibonacciego. Nie jest to jednak jedyny utwór, który zrobiony jest na podstawie tego ciągu. 
W skład tych utworów wchodzą: 

The Beatles - Let it be
Green Day - Basket Case 
Bob Marley - Women No Cry
U2 - With You or Without You 
Avril Lavigne - Sk8tr Boy 

Najlepiej pokazuje to filmik amerykańskiego komika:

W Biblii też oczywiście można doszukiwać się związku z liczbami Fibonacciego, chociaż niektórzy uważają, że jest to już robione na siłę. Pozwól, że przedstawię Ci parę przykładów:

• W mistycyźnie judaizmu, każdej literze w Biblii odpowiada cyfra, można więc zsumować wartości odpowiednich wyrazów. Słowo "Ogród Eden" (qadam) po zamianie na cyfry daje 144. "Drzewo życia w ogrodzie Eden" (etz ha'chaim) - 233,  "Drzewo wiedzy i poznania dobra i zła" (etz hada'at tov v'rah) - 932 (4*233) 
• Arka przymierza zrobiona z drzewa akacjowego. Jej długość miała wynosić 2,5 łokcia a wysokość i szerokość 1,5 łokcia. 2,5 : 1,5 = 1,(6) 
• Ap 7,4 "I usłyszałem liczbę opieczętowanych: 144 tysiące opieczętowanych ze wszystkich pokoleń synów Izraela"  
• Pokoleń Izraela jest w Biblii 12. 12 podniesione do potęgi drugiej daje wynik 144.

To już wszystko na dziś. Mam nadzieję, że udało mi się zainteresować Cię tym oto tematem, bo myślę że naprawdę warto coś takiego wiedzieć. Może i jest to doszukiwanie się czegoś tam, gdzie tego nie ma, ale trzeba przyznać że naprawdę wiele rzeczy składa się na tą właśnie proporcję. Szkoda, że nie uczymy się takich rzeczy w szkołach. Przynajmniej w mojej. W jednej z klas znajdowała się kiedyś podobizna Fibonacciego z kapustą w rękach i to tyle.
Tak czy siak, dziękuję Ci za dotrwanie do tego miejsca. Mam nadzieję, że należycie przekazałam Ci cenną wiedzę. Zachęcam do czekania, bo w następnym tygodniu będzie nowy post o zupełnie innej tematyce.